P এবং Q বলের অন্তর্বর্তী কোণ Θ হলে, ওদের লম্বির মান হয় $(2K + 1)\sqrt…

Question

P এবং Q বলের অন্তর্বর্তী কোণ Θ হলে, ওদের লম্বির মান হয় $(2K + 1)\sqrt{P^2 + Q^2}$; কিন্তু অন্তর্বর্তী কোণ $(90^\circ - \Theta)$ হলে লম্বির মান $(2K - 1)\sqrt{P^2 + Q^2}$ হয়। প্রমাণ করো যে, $	an 	heta =$

Accepted Answer

C. $(K - 1)/(K + 1)$

দুটি বলের লব্ধির সূত্র ব্যবহার করি। প্রথম ক্ষেত্রে,
$$R_1^2=P^2+Q^2+2PQ\cos	heta$$
প্রশ্নানুসারে,
$$R_1=(2K+1)\sqrt{P^2+Q^2}$$
অতএব,
$$R_1^2=(2K+1)^2(P^2+Q^2)$$
সুতরাং,
$$P^2+Q^2+2PQ\cos	heta=(2K+1)^2(P^2+Q^2)$$
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কোণ $90^\circ-	heta$ হলে,
$$R_2^2=P^2+Q^2+2PQ\cos(90^\circ-	heta)$$
এখানে,
$$\cos(90^\circ-	heta)=\sin	heta$$
এবং প্রশ্নানুসারে,
$$R_2=(2K-1)\sqrt{P^2+Q^2}$$
তাই,
$$P^2+Q^2+2PQ\sin	heta=(2K-1)^2(P^2+Q^2)$$
এখন প্রথম সমীকরণ থেকে পাই,
$$2PQ\cos	heta=[(2K+1)^2-1](P^2+Q^2)$$
অর্থাৎ,
$$2PQ\cos	heta=4K(K+1)(P^2+Q^2)$$
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই,
$$2PQ\sin	heta=[(2K-1)^2-1](P^2+Q^2)$$
অর্থাৎ,
$$2PQ\sin	heta=4K(K-1)(P^2+Q^2)$$
এখন ভাগ করলে,
$$\frac{\cos	heta}{\sin	heta}=\frac{K+1}{K-1}$$
অতএব,
$$\cot	heta=\frac{K+1}{K-1}$$
সুতরাং,
$$	an	heta=\frac{K-1}{K+1}$$
এখন বিকল্পগুলির সাথে মিলিয়ে দেখি, এটি $(C)$-এর সাথে মিলে।

Answer

$(K + 1)/(K - 1)$

Answer

$K/(K + 1)$

Answer

$K/(K - 1)$