P এবং Q বলের অন্তর্বর্তী কোণ Θ হলে, ওদের লম্বির মান হয় $(2K + 1)\sqrt{P^2 + Q^2}$; কিন্তু অন্তর্বর্তী কোণ $(90^\circ - \Theta)$ হলে লম্বির মান $(2K - 1)\sqrt{P^2 + Q^2}$ হয়। প্রমাণ করো যে, $\tan \theta =$

দুটি বলের লব্ধির সূত্র ব্যবহার করি। প্রথম ক্ষেত্রে, $$R_1^2=P^2+Q^2+2PQ\cos\theta$$ প্রশ্নানুসারে, $$R_1=(2K+1)\sqrt{P^2+Q^2}$$ অতএব, $$R_1^2=(2K+1)^2(P^2+Q^2)$$ সুতরাং, $$P^2+Q^2+2PQ\cos\theta=(2K+1)^2(P^2+Q^2)$$ দ্বিতীয় ক্ষেত্রে কোণ $90^\circ-\theta$ হলে, $$R_2^2=P^2+Q^2+2PQ\cos(90^\circ-\theta)$$ এখানে, $$\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta$$ এবং প্রশ্নানুসারে, $$R_2=(2K-1)\sqrt{P^2+Q^2}$$ তাই, $$P^2+Q^2+2PQ\sin\theta=(2K-1)^2(P^2+Q^2)$$ এখন প্রথম সমীকরণ থেকে পাই, $$2PQ\cos\theta=[(2K+1)^2-1](P^2+Q^2)$$ অর্থাৎ, $$2PQ\cos\theta=4K(K+1)(P^2+Q^2)$$ দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই, $$2PQ\sin\theta=[(2K-1)^2-1](P^2+Q^2)$$ অর্থাৎ, $$2PQ\sin\theta=4K(K-1)(P^2+Q^2)$$ এখন ভাগ করলে, $$\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{K+1}{K-1}$$ অতএব, $$\cot\theta=\frac{K+1}{K-1}$$ সুতরাং, $$\tan\theta=\frac{K-1}{K+1}$$ এখন বিকল্পগুলির সাথে মিলিয়ে দেখি, এটি $(C)$-এর সাথে মিলে।